A' sgeidseadh fhuincseanan ceàrnanach
Nuair a bhios sinn a' sgeidseadh fhuincseanan ceàrnanach, feumaidh fios a bhith againn air:
- na freumhan (sin far a bheil am parabola a' gearradh an x-axis)
- nàdar agus co-chomharran na puing-tionndaidh
- trasnadh-y (sin far a bheil am parabola a' gearradh a' y-axis)
Sa chuspair seo, ionnsaichidh sinn cuideachd mar a bhios sinn a' factaradh ceàrnanach le bhith 'a' cur crìoch air a' cheàrnaig'.
Thoir sùil air Nàiseanta 5 - A' cur crìoch air a' cheàrnaig mus lean thu ort.
Eisimpleir
Sgeids an graf aig \(y = {x^2} + 2x + 3\)
Freagairt
An toiseach, feumaidh sinn crìoch a chur air a' cheàrnaig gus am faigh sinn co-chomharran na puing-tionndaidh.
\(y = {x^2} + 2x + 3\)
\(y = {(x + 1)^2} - 1 + 3\)
\(y = {(x + 1)^2} + 2\)
Mar sin 's e co-chomharran na puing-tionndaidh (-1, 2).
A' cumail cuimhne air a' cho-aontar choitcheann: \(y = a{x^2} + bc + c\) ma tha:
- a > 0, bidh cumadh mar aodann toilichte air a' pharabola agus bidh a nàdar a' sealltainn gur e a' phuing-tionndaidh as ì a th' ann
- a < 0, bidh cumadh mar aodann brònach air a' pharabola agus bidh a nàdar a' sealltainn gur e a' phuing-tionndaidh as àirde a th' ann
Mar sin, mar \(\textgreater 0\) 's e a' phuing-tionndaidh as ì aig a' cho-aontar gu h-àrd aig (-1, 2).
Feumaidh sinn a-nis freumhan a' cho-aontair obrachadh a-mach. Faodaidh sinn an discriminant a chleachdadh airson sealltainn cia mheud freumh a th' ann, ma tha gin idir:
- tha \({b^2} - 4ac\textgreater0\) a' ciallachadh gu bheil dà fhreumh ann
- tha \({b^2} - 4ac = 0\) a' ciallachadh gu bheil aon fhreumh ann (oir tha a' phuing-tionndaidh air an x-axis)
- tha \({b^2} - 4ac\textless0\) a' ciallachadh nach eil freumh idir ann
\(y = {x^2} + 2x + 3\)
\({b^2} - 4ac\) far a bheil \(a = 1,\,b = 2\,agus\,c = 3\)
\(= {2^2} - (4 \times 1 \times 3)\)
\(= 4 - 12 = - 8\) a tha < 0 agus mar sin chan eil freumhan ann.
Tha parabola a' gearradh a' y-axis, nuair a tha \(x = 0\):
\(y = {(0)^2} + 2(0) + 3\)
\(y = 3\)
Mar sin 's e an trasnadh-y (0, 3)
Mar sin seo mar a tha an graf:
Feuch a-nis a' cheist gu h-ìosal.
Question
Dèan sgeidse de ghraf an fhuincsean \(y = 2x - {x^2} - 3\)
Ath-òrdaich gus am faigh thu:
\(y = - {x^2} + 2x - 3\)
\(y = - 1[{x^2} - 2x + 3]\)
A' cur crìoch air a' cheàrnaig:
\(y = - 1[{(x - 1)^2} - 1 + 3]\)
\(y = - 1[{(x - 1)^2} + 2]\)
\(y = - 1{(x - 1)^2} - 2\)
Mar sin tha a' phuing-tionndaidh aig (1, -2)
\(a=-1\)
Bhon a tha -1 < 0, 's e a' phuing-tionndaidh as àirde a th' ann.
\({b^2} - 4ac\) far a bheil \(a = - 1,\,b = 2\,agus\,c = - 3\)
\(= {2^2} - (4 \times ( - 1) \times ( - 3))\)
\(= 4 - 12 = - 8\) a tha < 0, mar sin chan eil freumhan ann.
A' gearradh a' y-axis nuair a tha \(x = 0\):
\(y = - {(0)^2} + 2(0) - 3\)
\(y = - 3\)
Mar sin tha an trasnadh-y (0, -3)
Seo mar a tha an graf:
Question
Dèan sgeidse dhe na grafan aig \(y = (x + 1)(x - 3)\)
Bidh freumhan ann nuair a tha \(y = 0\)
\((x + 1)(x - 3) = 0\)
\((x + 1) = 0\,agus\,(x - 3) = 0\)
\(x = - 1\,agus\,x = 3\)
Mar sin tha freumhan aig (-1, 0) agus (3, 0).
Ma smaoinicheas tu air na camagan iomadachadh a-mach, chì thu gum faigh sinn \({x^2}\) dhearbhte. Mar sin bhon a tha a > 0, 's e a' phuing-tionndaidh as ì a th' ann.
Bhon a tha parabola co-chothromach, chì sinn gum bi puing-tionndaidh a' pharabola letheach slighe eadar na freumhan.
Mar sin bidh a' phuing-tionndaidh ann nuair a tha \(x = 1\). Gus co-chomharra-y na puing-tionndaidh a lorg, faodaidh sinn seo ionadachadh a-steach dhan cho-aontar thùsail.
Nuair a tha \(x = 1\),
\(y = (1 + 1)(1 - 3)\)
\(y = (2)( - 2)\)
\(y = - 4\)
Mar sin tha a' phuing-tionndaidh as lugha aig (1, -4).
Bidh parabola a' gearradh a' y-axis nuair a tha \(x = 0\). Mar sin, le bhith ag ionadachadh seo a-steach, gheibh sinn:
\(y = (0 + 1)(0 - 3)\)
\(y = (1)( - 3)\)
\(y = - 3\)
Mar sin tha an trasnadh-y aig (0, -3).
Seo mar a tha graf an fhuincsean seo: